Random Walker Log's Log

二度と見ない系ログファイル

20150405 線形代数:かわいくない 微分積分:かわいくない 集合位相:かわいい

明日から大学院の授業が始まる。ちゃんと起きられるかが心配。
離散可積分系の授業に出てみようと思う。それが理由というわけじゃないけど、院生室(予定)の先輩には可積分系の人が結構いるらしい。

緑本は4章まで進んだ。分野の違いか言語能力の衰えゆえか、日本語の説明の意味を理解できない箇所が少しある。

「コンパクト距離空間からそれ自身への距離を保つ写像全射であることを示せ」という問題が頭の中に引っかかっていたが、ちゃんとノートに書き出してみたら解けた。出典は昔の阪大の院試らしい。
(証明)
コンパクト距離空間(X,d)写像fとし、Xの点x_0と正の実数\varepsilonを任意にとる。
f(x_0)=x_1,f(x_1)=x_2,\dotsとおく。Xはコンパクト距離空間ゆえ全有界であるから、
鳩の巣原理により点列x_0,x_1,\dotsのうちのある2つは半径\varepsilon/2の開球に含まれる。
すなわち、あるm\lt nが存在して、d(x_m,x_n)<\varepsilonとなる。
fは距離を保つので、d(x_0,x_{n-m})=d(x_1,x_{n-m+1})=\cdots =d(x_m,x_n)<\varepsilon
x_{n-m}=f(x_{n-m-1})\in f(X)だから、x_0との距離が\varepsilonより小さいf(X)の点が存在する。
\varepsilonは任意だから、f(X)の点列f(y_1),f(y_2),\dotsx_0に収束するものが存在する。
Xはコンパクト距離空間なので、点列コンパクトでもある。
よってy_1,y_2,\dotsの部分列z_1,z_2,\dotsXの点zに収束するものがある。
z_n\rightarrow z,f(z_n)\rightarrow x_0かつfは距離を保つから連続なのでx_0=f(z)\in f(X)
x_0は任意だからいえた。■

集合位相の問題は、特に問題設定が一般的なときはやれることが少ない。だからあんまり考えなくてもできることだけやってたらすんなり解けたりするというのもあって、院試では貴重な得点源になる。自分も本試験の時、他の問題を丁寧に解きすぎて時間が足りなくなり、慌てて取り掛かった位相の問題がミラクル簡単で助かった。
途中までテキストエディタで置換することを思いつかずに、はてなtex記法めんどくさいなーと思いながら書いてた…。
texで思い出したけど、せっかくtexで書いたエレ解の答案をまだ出してない。明日か明後日に出せば間に合うか。