Random Walker Log's Log

二度と見ない系ログファイル

ある不等式

数列 \{ x_n \} _{n=0}^\inftyが、

 x_0 \leq 0, \quad x_{n+1} \leq (1+a)x_n + ab \quad (a,bは実数)

をみたしているとき、 n=0,1,2,\dotsに対して

 x_n \leq b(e^{an}-1)

が成り立つ。

証明は 1+a\leq e^aに注意して数学的帰納法を使えばできる。
仮定した不等式は、 aを微小時間 \Delta t (>0) x_nをなめらかな関数 x(t)の時刻 n\Delta tでの値だと解釈して、変形すると

\displaystyle \frac{x((n+1)\Delta t) - x(n\Delta t)}{\Delta t} \leq x(n \Delta t) + b

すなわち x前進差分がその時刻での xの値プラス定数で抑えられているという意味になり、結論の不等式は微分形のGronwallの不等式の類似物とみることができる。

何が言いたいのかというと、今日の午後なんとか論文1つ読みきろうとしたのに、なぜかこれが示せなくて日が暮れてしまった。もうだめだ……おれは……おれは……