Random Walker Log's Log

二度と見ない系ログファイル

πとeが無理数であることの証明を見た

今日初めて円周率が無理数であることの証明を真面目に見た。
正確に言うと、大阪大学の過去問に円周率の無理性を示す問題が出ていて、それを解いたことはあるけど詳細はすぐに忘れていた。
twitterで円周率の無理性の話をしている人がいて、ちょっとググってみたら思った以上に簡潔な証明があって一度追ったら覚えてしまった。
 \pi = a / b (a , b は自然数)と表せると仮定して、自然数 nに対して
 f (x) := \frac{1}{n!} x^n (a - bx)^n
 F(x) := f(x) - f^{(2)}(x) + f^{(4)}(x) - \cdots + (- 1)^n f^{(2n)}(x)
とおくところと、
 f(x) = f(\pi - x)に注意して、
 0 \leq j < n n \leq j \leq 2nに分けて f^{(j)}(0) , f^{(j)}(\pi )が整数であることを示して、
 ( F'(x) \sin x - F(x) \cos x )' = f(x) \sin x 0から \piまで積分する、という方針だけ覚えればたぶん再現できると思う。

ついでに eの無理性も調べてみたら、こっちはもっと単純だった。 e = a / bとして、
 b! e = \left( \frac{b!}{0!} + \frac{b!}{1!} + \cdots + \frac{b!}{b!} \right) + \left( \frac{b!}{(b + 1)!} + \frac{b!}{(b + 2)!} + \cdots \right)
の一番右の項は 2^{- 1} + 2^{- 2} + \cdotsより小さいから0と1の間で他の項は整数だから矛盾

何かに使えるかもしれないので、とりあえず頭に残しておく。